关于开集$\Omega \subset \mathbb{R}^n$上$C^1_0(\Omega)$对偶空间的技术问询
嗨，这个问题问到点子上了，咱们一步步把它理清楚：
首先明确空间定义：$C^1_0(\Omega)$是Ω上具有紧支集的连续可微函数空间，配备的范数是$|f| = \sup_{\Omega} |f| + \sup_{\Omega} |\nabla f|$——这个范数下它是一个Banach空间，这点是后续分析的基础。
对偶空间的核心表示
先直接给结论：$C^1_0(\Omega)$的对偶空间（即所有连续线性泛函$L: C^1_0(\Omega) \to \mathbb{R}$的集合）确实可以表示为形如
$$L(f) = \sum_{i=1}^n \int_\Omega \frac{\partial f}{\partial x_i} d\mathbf{H}_i$$
的算子，其中每个$\mathbf{H}_i$是Ω上的Radon测度。为什么这个表示成立？咱们从两个关键角度拆解：
1. 紧支集函数的特殊分解性质
对于任意$f \in C^1_0(\Omega)$，它的支集是紧集$K \subset \Omega$。因为Ω是开集，$K$的补集$\Omega \setminus K$非空，我们可以取一个点$a \in \Omega \setminus K$（此时$f(a)=0$，因为$a$在$f$的支集外）。
根据微积分基本定理，对任意$x \in \Omega$，有：
$$f(x) = f(a) + \sum_{i=1}^n \int_{a_i}^{x_i} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, \dots, t, \dots, x_n) dt$$
代入$f(a)=0$，就能把$f$完全表示为其偏导数的原函数之和：
$$f(x) = \sum_{i=1}^n g_i(x)$$
这里的$g_i(x) = \int_{a_i}^{x_i} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, \dots, t, \dots, x_n) dt$，且$g_i \in C^1_0(\Omega)$——因为$\frac{\partial f}{\partial x_i}$的支集在$K$内，所以$g_i$的支集也在$K$内，同时$g_i$连续可微，且$\frac{\partial g_i}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i}$。
2. 连续线性泛函的分解与Riesz表示
现在看任意连续线性泛函$L$：
- 对每个$i$，我们可以定义$C_0(\Omega)$上的线性泛函$L_i(g) = L(h_i)$，其中$h_i$是$C^1_0(\Omega)$中满足$\frac{\partial h_i}{\partial x_i} = g$的函数（比如上面构造的$g_i$就是这样的函数）。
- 因为$|h_i| \leq \text{diam}(K) |g|_{C_0}$（$K$是$h_i$的紧支集），而$L$是连续的，所以$L_i$也是$C_0(\Omega)$上的连续线性泛函。
- 根据Riesz表示定理，$C_0(\Omega)$的对偶空间恰好是Ω上的Radon测度空间，因此存在Radon测度$\mathbf{H}i$，使得$L_i(g) = \int\Omega g d\mathbf{H}_i$。
把这些结论拼合起来，就得到了：
$$L(f) = L\left(\sum_{i=1}^n g_i\right) = \sum_{i=1}^n L(g_i) = \sum_{i=1}^n \int_\Omega \frac{\partial f}{\partial x_i} d\mathbf{H}_i$$
这就解释了Barozzi等人在文章中使用的表示为什么是正确的——本质是利用了紧支集函数可以被其梯度的原函数完全表示，再结合Riesz定理将泛函转化为测度积分。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者1Rock
