求使函数$f(x)=x^3+bx^2+3x+\sin(x)$为双射的参数$b$的取值范围

求参数$b$的取值，使得函数$f(x)=x^3+bx2+3x+\sin(x)$是双射。

首先咱们得明确：连续函数要是双射，必须是严格单调的（因为连续严格单调的函数必然是单射，而这个函数当$x\to+∞$时$f(x)\to+∞$，$x\to-∞$时$f(x)\to-∞$，天然是满射，所以只要保证严格单调就行）。严格单调的话，导数要么恒非负（仅在孤立点为0），要么恒非正，但显然这个函数的导数当$x$趋向正负无穷时，$3x²$主导，会趋向正无穷，所以导数不可能恒负，只能考虑导数恒非负的情况。

先求导数：
$$f'(x) = 3x^2+2bx+3+\cos(x)$$

接下来要分析：对所有实数$x$，$f'(x)\geq0$，且只有孤立点处导数为0。

第一步：初步放缩找充分条件 #

因为$\cos(x)\geq-1$，所以$f'(x)\geq3x²+2bx+3-1=3x²+2bx+2$。如果这个二次函数恒非负，那$f'(x)$肯定也非负。二次函数$3x²+2bx+2$恒非负的条件是判别式$\Delta=(2b)^2-4×3×2\leq0$，也就是$4b²-24\leq0$，解得$-\sqrt{6}\leq b\leq\sqrt{6}$（约$-2.45$到$2.45$）。这时候$f'(x)$不仅非负，而且因为$\cos(x)=-1$仅在$x=π+2kπ$处成立，而此时$3x²+2bx+2$的值远大于1（比如$x=π≈3.14$时，$3×π²≈29.6$，远大于1），所以$f'(x)=正数+(-1)$仍然是正数，导数恒正，函数严格递增，是双射。

第二步：拓展到必要条件 #

但这个范围是不是太窄了？比如$b=3$时，我们算一下导数：$f'(x)=3x²+6x+3+\cos(x)=3(x+1)^{2+\cos(x)$。$3(x+1)}2$最小是0（当$x=-1$时），此时$\cos(-1)≈0.54>0$；当$3(x+1)^2$取到1时，对应的$x=-1±\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时$\cos(x)≈0.91> -1$，所以$f'(x)=1+0.91>0$，也就是说$b=3$时导数还是恒正的，函数依然严格单调。

那什么时候导数会出现负值呢？我们需要找导数的最小值，看它什么时候小于0。导数的极值点满足$f''(x)=0$，也就是$6x+2b-\sin(x)=0$，即$2b=\sin(x)-6x$。把这个代入$f'(x)$的表达式，得到极值点处的导数为：
$$f'(x_0)=-3x_0²+x_0\sin(x_0)+3+\cos(x_0)$$
要让这个值$\geq0$，也就是：
$$3(1-x_0²)+x_0\sin(x_0)+\cos(x_0)\geq0$$

我们令$k(x)=3(1-x²)+x\sin x+\cos x$，这是个偶函数，所以只需要找正根。通过数值计算，$k(x)=0$的正根大约在$x≈1.23$处，对应的$b$值是$b=\frac{\sin x -6x}{2}≈\frac{0.942-7.38}{2}≈-3.219$，对应的正$b$值是$≈3.219$。

也就是说，当$|b|\leq≈3.22$时，导数的最小值$\geq0$，且仅在孤立点处为0，函数严格递增，是双射；当$|b|>≈3.22$时，导数会出现负值，函数先减后增，不是单射，也就不是双射。

最终结论 #

如果用精确表达式，$b$的取值范围是$\left[\frac{\sin a -6a}{2}, \frac{6a - \sin a}{2}\right]$，其中$a$是方程$3(1-x²)+x\sin x+\cos x=0$的正实数解；如果用近似值，大约是$[-3.22,3.22]$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aadya Chaudhary