关于严格行对角占优且对角线元素为负的矩阵特征值全负性的证明问询

嘿，这个问题其实是严格对角占优矩阵性质的经典应用，完全可以给出严谨的证明！我来一步步给你梳理清楚：

首先先明确你的矩阵的核心性质：

• 矩阵 ( X ) 是严格行对角占优矩阵：对每一行 ( i )，对角线元素的绝对值大于该行其他所有元素绝对值的总和；
• 所有对角线元素都是负数，即 ( X_{ii} = -x_{ii} )（其中 ( x_{ii} > 0 )），矩阵形式如下：
  $$
  X = \begin{bmatrix}
  -x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \
  x_{21} & -x_{22} & \cdots & x_{2n} \
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
  x_{n1} & x_{n2} & \cdots & -x_{nn}
  \end{bmatrix}
  $$
  对应的严格对角占优条件为：
• ( |x_{11}| > |x_{12} + x_{13} + \cdots + x_{1n}| )
• ( |x_{22}| > |x_{21} + x_{23} + \cdots + x_{2n}| )
• ( \vdots )
• ( |x_{nn}| > |x_{n1} + x_{n2} + \cdots + x_{n(n-1)}| )

接下来用反证法证明所有特征值均为负数：

1. 假设矛盾情况：假设存在一个特征值 ( \lambda \geq 0 )（非负特征值），我们将推导出自相矛盾的结论。
2. 构造辅助矩阵：考虑矩阵 ( A = X - \lambda I )（( I ) 为单位矩阵），计算其对角线元素：
   ( A_{ii} = X_{ii} - \lambda = -x_{ii} - \lambda = -(x_{ii} + \lambda) )，因此绝对值 ( |A_{ii}| = x_{ii} + \lambda )（由于 ( x_{ii} > 0 ) 且 ( \lambda \geq 0 )，这个值必然为正）。
3. 验证严格对角占优性：对于 ( A ) 的第 ( i ) 行，非对角线元素的绝对值总和与原矩阵 ( X ) 完全一致，即 ( \sum_{j \neq i} |A_{ij}| = \sum_{j \neq i} |X_{ij}| )。
   根据原矩阵的严格行对角占优条件，( x_{ii} > \sum_{j \neq i} |X_{ij}| )，加上 ( \lambda \geq 0 ) 后，显然有 ( x_{ii} + \lambda > \sum_{j \neq i} |X_{ij}| )，也就是 ( |A_{ii}| > \sum_{j \neq i} |A_{ij}| )。这说明 ( A ) 也是严格行对角占优矩阵。
4. 利用可逆性导出矛盾：严格行对角占优矩阵的一个核心性质是可逆（即不存在非零向量 ( v ) 使得 ( Av = 0 )）。但如果 ( \lambda ) 是 ( X ) 的特征值，那么必然存在非零向量 ( v ) 满足 ( Xv = \lambda v )，等价于 ( (X - \lambda I)v = 0 )，也就是 ( Av = 0 )——这与 ( A ) 可逆的性质完全矛盾。

因此，我们的假设不成立，不存在非负的特征值，也就是说矩阵 ( X ) 的所有特征值都是负数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stats_noob