利用⟨σ⟩在Sₚ（p为素数）上的群作用证明Sₚ可由对换与p-循环生成

嘿，我来帮你把这个证明理得明明白白，咱们就紧扣群作用+类方程/轨道-稳定子定理的思路，核心抓住p是素数这个关键条件~

首先明确问题：

给定素数p，取Sₚ中的一个p-循环σ，记循环群$H = \langle \sigma \rangle$，利用H在Sₚ上的群作用，证明Sₚ可以由任意一个对换τ和这个p-循环σ共同生成。

证明步骤： #

1. 选定核心群作用
   我们取H在Sₚ上的共轭作用：对任意$h \in H$，$x \in S_p$，作用定义为$h \cdot x = hxh^{-1}$。这个作用的妙处在于，通过p-循环σ的共轭操作，可以把一个对换“平移”到集合的其他位置，为生成整个对称群铺路。

2. 构造待证群并分析其置换作用
   设$G = \langle \sigma, \tau \rangle$（τ取任意对换，比如$\tau=(1\ 2)$），我们要证明$G = S_p$。首先看G在集合$X={1,2,...,p}$上的自然置换作用：

   • 因为σ是p-循环，它能把元素1映射到X中的任意元素，所以G的作用是传递的——任意两个元素都能通过G中的置换互相映射。

3. 用轨道-稳定子定理拆解群的阶
   根据轨道-稳定子定理，$|G| = |轨道大小| \times |点稳定子G_1|$。这里轨道大小是p（因为作用传递），所以$|G| = p \times |G_1|$，其中$G_1$是G中固定元素1的置换构成的子群。

4. 分析点稳定子的生成能力
   现在看$G_1$里包含哪些关键元素：

   • 对$\tau=(1\ 2)$，用σ共轭τ得到$\sigma\tau\sigma^{-1}=(2\ 3)$，这个置换固定1，所以$(2\ 3) \in G_1$；
   • 同理，$\sigma^2\tau\sigma{-2}=(3\ 4)$，$\sigma^3\tau\sigma{-3}=(4\ 5)$，...，$\sigma^{{p-2}\tau\sigma}{-(p-2)}=(p-1\ p)$，这些相邻对换都固定1，全部属于$G_1$。

   我们知道，相邻对换$(2\ 3),(3\ 4),...,(p-1\ p)$可以生成整个$S_{p-1}$（固定1的对称群，即所有只置换2到p的置换），所以$G_1 = S_{p-1}$。

5. 推导群阶并得出结论
   既然$G_1 = S_{p-1}$，那么$|G| = p \times (p-1)! = p! = |S_p|$。而G是$S_p$的子群，阶数相等意味着$G = S_p$。

用类方程补充验证（呼应你的思路） #

如果想用类方程佐证，我们可以这么看：

• $S_p$的中心$Z(S_p)$只有单位元（p≥3时，对称群的中心平凡），所以类方程为$p! = 1 + \sum_{i=1}^k [S_p:C_{S_p}(g_i)]$，其中$g_i$是非中心共轭类的代表元。
• 假设$G \neq S_p$，那么$|G| < p!$。但G包含p阶子群$H=\langle \sigma \rangle$，且对换τ的共轭类在G中至少有p个元素（由σ的共轭作用生成的p个不同对换），即$[G:C_G(\tau)] \geq p$。
• 结合类方程，$|G| = 1 + [G:C_G(\sigma)] + [G:C_G(\tau)] + ...$，其中$[G:C_G(\sigma)] = |G|/p$（σ的中心化子在G中就是H）。代入后会发现，若$|G| < p!$，无法满足类方程的整数性（因为p是素数，所有非平凡共轭类大小要么是p的倍数，要么整除$|G|/p$，但对换共轭类大小≥p，与p!的因子结构矛盾），因此假设不成立，$G = S_p$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者We_Will_be_Happy