矩阵谱范数与弗罗贝尼乌斯范数的差值边界问题

嘿，这个问题问得很有针对性！咱们从矩阵的奇异值分解入手来拆解它——毕竟谱范数和弗罗贝尼乌斯范数的本质都能通过奇异值直观体现出来。

假设矩阵$A$的奇异值按从大到小排序为$\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_n \geq 0$，那么：

• 谱范数$||A||_2$就是最大的奇异值$\sigma_1$
• 弗罗贝尼乌斯范数$||A||_F$是所有奇异值平方和的平方根，即$\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \dots + \sigma_n^2}$

我们把差值记为$D = ||A||_F - ||A||_2$，接下来分两部分回答你的问题：

1. 差值可以任意大吗？ #

当然可以！举个简单的例子：取一个$n$阶矩阵，让它的最大奇异值$\sigma_1=1$，剩下的$n-1$个奇异值都等于一个很大的正数$t$。此时：
$$||A||_F = \sqrt{1 + (n-1)t^2}$$
当$t$趋向于无穷大时，$||A||_F$近似等于$t\sqrt{n-1}$，而$||A||_2$始终是1，差值$D \approx t\sqrt{n-1} - 1$，显然随着$t$的增大，$D$会无限变大。这说明这个差值没有上界，可以任意大。

2. 有没有可以参考的边界？ #

我们可以通过分子有理化对$D$做一些放缩：
$$
\begin{align*}
D &= \sqrt{\sigma_1^2 + S} - \sigma_1 \
&= \frac{(\sqrt{\sigma_1^2 + S} - \sigma_1)(\sqrt{\sigma_1^2 + S} + \sigma_1)}{\sqrt{\sigma_1^2 + S} + \sigma_1} \
&= \frac{S}{\sqrt{\sigma_1^2 + S} + \sigma_1}
\end{align*}
$$
这里$S = \sigma_2^2 + \dots + \sigma_n^2 = ||A||_F^2 - ||A||_2^2$。

从这个式子能得到几个有用的定性边界：

• 下界：当$S=0$（也就是$A$是秩1矩阵）时，$D=0$，这是差值的最小值。
• 上界的一种形式：因为$\sqrt{\sigma_1^2 + S} \geq \sigma_1$，所以分母$\geq 2\sigma_1$，因此$D \leq \frac{S}{2\sigma_1} = \frac{||A||_F^2 - ||A||_2^2}{2||A||_2}$。这个式子能帮你在已知谱范数和弗罗贝尼乌斯范数的情况下，快速估算差值的上限。

另外补充一点：如果矩阵的秩大于1，差值必然大于0；秩等于1时差值为0，这是唯一的最小情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Debojjal Bagchi