关于m×n网格满足所有2×2方块旋转等价下互不相同的着色方式计数的技术问询

最近我想到了一个有点意思的问题，虽然已经琢磨了好一阵，但完全不知道该从哪里下手。问题的具体描述如下：

给定一个 $m \times n$ 的网格（满足 $m, n > 2$）和 $k > 1$ 种颜色，求有多少种网格着色方式，使得所有 $2 \times 2$ 的方块在旋转等价的前提下都是互不相同的？

我知道很多类似的网格着色问题都是数学领域的开放问题（比如要求相邻方块颜色不能相同的网格着色问题），但我还是想问问各位，有没有人针对这个特定的问题，能给出一些解题思路或者方向？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者olivia