已知积分等式∫₀^(2x)f(t)dt = 4x sinx，求解f'(2π)时两种方法结果不同，求正确解法

你好呀，我最近碰到一道微积分题，题目是给定 $\int_0^{2x}f(t) dt = 4x \sin(x)$，要计算 $f'(2\pi)$ 的值。我试了两种解题思路，结果却不一样，想请大家帮忙看看哪种是对的，错的那一步问题出在哪？

方法一 #

$$
\begin{align}
2f(2x) &= 4(\sin x + x\cos x)\
\implies
f(2x) &= 2(\sin x + x\cos x)\
\implies f(x) &= 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right)\
\implies f '(x) &= \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\
&= 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\
\implies f '(2\pi) &= 2\cos(\pi) - \frac{2\pi}{2}\sin(\pi)\
&= 2*(-1) - \pi*0\
&= -2
\end{align}
$$

方法二 #

$$
\begin{align}
2f(2x) &= 4(\sin x + x\cos x)\
\implies
f(2x) &= 2(\sin x + x\cos x)\
\implies
f '(2x) &= 4\cos x - 2x\sin x\
\implies f'(2\pi) &= 4\cos\pi - 2\pi\sin\pi\
&= 4*(-1) - 0\
&= -4
\end{align}
$$

错误分析与正确结论 #

方法一是完全正确的，而方法二的问题出在复合函数求导时没用到链式法则！

当我们对 $f(2x)$ 关于x求导时，$f(2x)$ 是复合函数（内层函数是 $u=2x$，外层是 $f(u)$），根据链式法则，$\frac{d}{dx}[f(2x)] = f'(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2f'(2x)$。

方法二中直接对 $2(\sin x + x\cos x)$ 求导得到的 $4\cos x - 2x\sin x$，其实是 $\frac{d}{dx}[f(2x)]$ 的值，而不是 $f'(2x)$。正确的推导应该是：
$$
\frac{d}{dx}[f(2x)] = 2(\cos x + \cos x - x\sin x) = 4\cos x - 2x\sin x
$$
结合链式法则的结论 $2f'(2x)=4\cos x - 2x\sin x$，可得 $f'(2x)=2\cos x - x\sin x$。

现在代入 $x=\pi$（因为要得到 $f'(2\pi)$，此时 $2x=2\pi$，即 $x=\pi$）：
$$
f'(2\pi)=2\cos\pi - \pi\sin\pi = 2*(-1) - 0 = -2
$$
这样结果就和方法一一致了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SendHelp