关于双仿射片覆盖的非奇异射影曲线的多项式求解、典范类次数证明及射影化疑问的技术问询

A non-singular projective curve $X$ is covered by two affine pieces (with respect to different embeddings) which are affine plane curves with equations $y^2 = f (x)$ and $v^2 = g(u)$ respectively, with f a square-free polynomial of even degree 2n and $u = 1/x, v = y/x^n$ in $K(X)$. Determine the polynomial g(u) and show that
the canonical class on X has degree $2n − 4$. Why can we not just say that $X$ is the projective plane curve associated to the affine curve $y^2 = f (x)$?

我现在正在学代数几何入门课程，基域$k$是代数闭域。我自己试着解了这个问题，但感觉这题概念性很强，有点摸不清门道，想请人帮忙检查一下我的解法，我还没写完...

先解决第一个问题：求多项式$g(u)$ #

这个真的就是变量替换的基础操作，别想复杂了！已知$u=1/x$（也就是$x=1/u$），还有$v=y/x^n$（所以$y = vx^n = v/u^{n$），直接把这俩代入第一个仿射曲线的方程$y}2 = f(x)$就行：
$$
\left(\frac{v}{u^n}\right)2 = f\left(\frac{1}{u}\right)
$$
因为$f(x)$是2n次无平方多项式，我们可以把$f(1/u)$写成$\frac{f^*(u)}{u{2n}}$——这里的$f^{*(u)$就是$f$的**反演多项式**，说白了就是把$f(x)=a_{2n}x}{2n}+\dots+a_1x+a_0$的系数从后往前倒过来，得到$f^*(u)=a_0u{2n}+\dots+a_{2n-1}u+a_{2n}$。因为$f$无平方且次数是2n，所以首项系数$a_{2n}\neq0$；又因为原曲线非奇异，在$x=0$（对应第二个仿射片的$u=\infty$）处也不能有奇点，所以常数项$a_0=f(0)\neq0$，这保证了$f^*(u)$也是2n次无平方多项式。

把等式两边都乘上$u^{{2n}$，就得到了$v}2 = f^{*(u)$，所以$g(u)$就是这个反演多项式$f}*(u)$。如果要写具体形式的话，就是把$f(x)$的系数反转后的多项式。

接下来证明典范类的次数是$2n-4$ #

这里给你两种思路，选你觉得顺手的就行：

• 思路一：用亏格公式套：对于非奇异射影曲线，典范类的次数等于$2g-2$，其中$g$是曲线的亏格。咱们这是双曲曲线，第一个仿射片是$y^2=f(x)$，$f$是2n次无平方多项式，双曲曲线的亏格公式就是$g=n-1$。代入的话，$2g-2=2(n-1)-2=2n-4$，直接就得到结果了。
• 思路二：从微分形式出发算：在第一个仿射片里，全纯微分形式可以表示为$\frac{dx}{y}$的倍数（因为$y^2=f(x)$，求导得$2y dy = f'(x)dx$，所以$dy=\frac{f'(x)dx}{2y}$，所有全纯微分都是$\frac{dx}{y}$的线性组合）。咱们把这个微分转换到第二个仿射片看看：把$x=1/u$、$y=v/u^{n$代入，$dx=-\frac{1}{u}2}du$，所以$\frac{dx}{y}=-\frac{1}{u^2}du \cdot \frac{u^{n}{v}=-\frac{u}{n-2}}{v}du$。因为$v^2=g(u)$是无平方多项式，这个微分在第二个仿射片的所有非奇异点都是全纯的，再结合原曲线非奇异的条件，这个微分在整个曲线上都是全纯的。全纯微分空间的维数就是亏格$g=n-1$，而典范类是全纯微分的除子的线性等价类，次数就是$2g-2=2n-4$，和思路一的结果完全一致。

最后一个问题：为什么不能直接说$X$是$y^2=f(x)$对应的射影平面曲线？ #

这是个很容易踩的概念坑！咱们平时说的“把仿射曲线$y^{2=f(x)$射影化”，是指把它嵌入到$\mathbb{P}}2$里，写出齐次方程：把$x=X/Z$、$y=Y/Z$代入，得到$\left(\frac{Y}{Z}\right)^2 = f\left(\frac{X}{Z}\right)$，两边乘上$Z^{{2n}$（因为$f$是2n次），得到$Y}2Z^{2n-2} = F(X,Z)$，其中$F(X,Z)$是$f(x)$的齐次形式，也就是$F(X,Z)=\sum_{i=0}^{2n}a_iXiZ^{2n-i}$。

但这个齐次曲线在$\mathbb{P}^2$里是奇异的！你看，在$Z=0$（也就是仿射片里的$x=\infty$）对应的点$(1,0,0)$处，计算三个偏导数：
$$
\frac{\partial F}{\partial X}=2n a_{2n}X^{2n-1}, \quad \frac{\partial F}{\partial Y}=2Y Z^{2n-2}, \quad \frac{\partial F}{\partial Z}=(2n-2)Y^2 Z^{2n-3} + \text{其他含}Z\text{的项}
$$
在点$(1,0,0)$处，三个偏导数全是0，这说明这个点是奇异点！但题目里明确说了$X$是非奇异的射影曲线，所以$\mathbb{P}^{2$里的那个齐次曲线不是我们要的$X$——$X$其实是这个奇异射影曲线的**非奇异模型**，也就是通过消解奇点得到的曲线，它没法用$\mathbb{P}}2$里的单个齐次方程来表示，所以必须用两个仿射片来覆盖它。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ForgeBloyb