求证含二进制变量的乘积求和等式（源自概率问题）
嗨，我来帮你搞定这个求和等式的证明！先把要证的式子再明确一下：对于任意整数 $k>1$，其中 $a,b,c>0$，有
$$
\sum_{\substack{i_j \in {0, 1} \forall j < k, i_k = 0}} \prod_{j = 1}^{k} \left(i_j + (-1)^{i_j} \frac{a+ (j - 1) c - c \sum_{\lambda = 0}^{j - 1} i_\lambda}{a+b + (j - 1) c}\right) = \frac{a}{a+b}
$$
先把这个式子和你提到的抽球概率问题对应上：这里的 $i_j=0$ 对应第 $j$ 次抽到红球，$i_j=1$ 对应抽到白球，求和式本质是枚举前 $k-1$ 次所有可能的抽球结果，把每种路径下第 $k$ 次抽到红球的概率加起来，也就是第 $k$ 次抽到红球的全概率。而这个经典的Pólya urn模型本身就有“每次抽红球的概率恒为初始比例”的结论，我们可以用数学归纳法严谨证明这个求和式：
步骤1：基例验证（$k=2$）
当 $k=2$ 时，求和变量是 $i_1 \in {0,1}$，$i_2=0$，展开计算：
- 若 $i_1=0$（第一次抽红球）：
第一次抽红球的概率是 $\frac{a}{a+b}$，抽完后红球数变为 $a+c$，总球数变为 $a+b+c$，第二次抽红球的概率是 $\frac{a+c}{a+b+c}$，这部分乘积为 $\frac{a}{a+b} \times \frac{a+c}{a+b+c}$。 - 若 $i_1=1$（第一次抽白球）：
第一次抽白球的概率是 $\frac{b}{a+b}$，抽完后红球数仍为 $a$，总球数变为 $a+b+c$，第二次抽红球的概率是 $\frac{a}{a+b+c}$，这部分乘积为 $\frac{b}{a+b} \times \frac{a}{a+b+c}$。
把两部分相加：
$$
\frac{a(a+c) + ab}{(a+b)(a+b+c)} = \frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+b+c)} = \frac{a}{a+b}
$$
基例成立。
步骤2：归纳假设
假设当 $k=m$（$m \geq 2$）时等式成立，即第 $m$ 次抽到红球的概率为 $\frac{a}{a+b}$，对应的求和式结果为 $\frac{a}{a+b}$，那么第 $m$ 次抽到白球的概率就是 $1 - \frac{a}{a+b} = \frac{b}{a+b}$。
步骤3：归纳递推（$k=m+1$）
我们需要证明第 $m+1$ 次抽到红球的概率仍为 $\frac{a}{a+b}$。根据全概率公式，第 $m+1$ 次抽红球的概率等于：
第 $m$ 次抽红球的概率 × 第 $m$ 次抽红后第 $m+1$ 次抽红的概率 + 第 $m$ 次抽白球的概率 × 第 $m$ 次抽白后第 $m+1$ 次抽红的概率
- 若第 $m$ 次抽红球，此时总球数为 $a+b+mc$，红球数为“第 $m$ 次抽前的红球数 + $c$”，而第 $m$ 次抽前的红球数对应的抽红概率是 $\frac{a+(m-1)c - c\sum_{\lambda=0}^{m-1}i_\lambda}{a+b+(m-1)c}$，抽完加 $c$ 后，第 $m+1$ 次抽红的概率为 $\frac{a+mc - c\sum_{\lambda=0}^{m-1}i_\lambda}{a+b+mc}$；
- 若第 $m$ 次抽白球，此时总球数同样为 $a+b+mc$，红球数不变，第 $m+1$ 次抽红的概率为 $\frac{a+(m-1)c - c\sum_{\lambda=0}^{m-1}i_\lambda}{a+b+mc}$。
结合归纳假设代入计算：
$$
\frac{a}{a+b} \times \frac{a+mc}{a+b+mc} + \frac{b}{a+b} \times \frac{a}{a+b+mc} = \frac{a(a+mc) + ab}{(a+b)(a+b+mc)} = \frac{a(a+b+mc)}{(a+b)(a+b+mc)} = \frac{a}{a+b}
$$
这就证明了 $k=m+1$ 时等式也成立。
结论
由数学归纳法，对于任意整数 $k>1$，原求和等式成立。这个结果也刚好对应Pólya urn模型的经典性质：无论抽多少次，每次抽到红球的概率都等于初始红球占总球数的比例。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ParaN3xus
