凯勒流形上$|\nabla \varphi|^2$的导数计算问询

嘿，我注意到你在计算凯勒流形上$|\nabla \varphi|^2$的导数时碰到了难题，这在处理复Monge-Ampère方程的相关问题里确实是个容易卡壳的细节点，先把咱们的问题背景理清楚，再慢慢拆解计算思路：

首先明确问题的设定：

• 设$M$是复维数$n \geq 2$的紧凯勒流形，配备凯勒形式$\omega$，我们研究$M$上的复Monge-Ampère方程：
  $$
  \left(\omega+dd^c \varphi\right)^n=f \omega^n,
  $$
  并且要求解满足强正性条件（保证是凯勒度量）：
  $$\tag{0.2}
  \omega+dd^c \varphi>0 .
  $$

在局部坐标下我们可以做个变量替换简化问题：
在点$O$的邻域内，凯勒形式$\omega$能表示为$\omega=dd^c g$，其中$g$是一个光滑的强 plurisubharmonic 函数。结合条件(0.2)，我们定义新的函数$u:=\varphi+g$，很容易验证$u$也是强 plurisubharmonic 的——这一步替换其实是把原方程转化为关于$u$的Monge-Ampère方程，方便后续用全纯坐标系计算。

你提到“存在一个全纯坐标系在$O$附近”，这肯定是想在局部坐标系下展开计算$|\nabla \varphi|^2$的导数对吧？给你个计算的入手方向：

• 首先，在全纯坐标系${z^1,\dots,zn}$下，凯勒度量的分量是$g_{i\overline{j}}=\frac{\partial^2 u}{\partial z^i \partial \overline{z}^j}$（因为$u$是强 plurisubharmonic 的，所以这个度量是正定的）。
• 先写出$|\nabla \varphi|^2$的表达式：$\varphi = u - g$，所以$\nabla \varphi = \nabla u - \nabla g$，那么$|\nabla \varphi|^2 = g^{i\overline{j}} \partial_i \varphi \partial_{\overline{j}} \varphi = g^{i\overline{j}} (\partial_i u - \partial_i g)(\partial_{\overline{j}} u - \partial_{\overline{j}} g)$。
• 接下来计算它的导数（比如协变导数或者普通偏导数），就可以利用凯勒度量的相容性（$\nabla g_{i\overline{j}}=0$），还有$u$满足的Monge-Ampère方程来化简——比如展开后会出现$\partial_k g^{i\overline{j}}$这类项，而凯勒度量的逆的导数可以用度量分量的导数来表示，即$\partial_k g^{i\overline{j}} = -g^{i\overline{l}} g^{m\overline{j}} \partial_k g_{m\overline{l}}$。

如果你的卡壳点是在协变导数和普通偏导数的转换，或者如何利用Monge-Ampère方程消去冗余项，可以把具体卡住的计算步骤再细化出来，咱们一起拆解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Elio Li