泊松乘积过程的鞅证明及一致可积性判定问题

最近我在课本里遇到这么一个问题，卡了好久：要证明下面这个乘积过程是鞅：

$$M_n = n! \prod_{k=1}^{n} X_k \ \text{其中 } X_{k} \sim \text{Poi}(1/k) \text{ 且所有 } X_k \text{ 相互独立}$$

我知道要证明鞅得搞定三个核心点：适应性、可积性，还有鞅等式，但目前卡在可积性的证明上了。我自己写了一些推导步骤，但不知道怎么给结果找上界来证明$\mathbb{E}|M_n| < \infty$，我的推导过程如下：

$$
\mathbb{E}|M_n| = \mathbb{E}\left| n! \prod_{k=1}^n X_k \right| = n! \cdot \mathbb{E} \prod_{k=1}^{n} X_k = n! \prod_{k=1}^{n} \mathbb{E} X_k
$$

不过这里我犯了个计算错误，一直没反应过来！每个$X_k$服从参数为$1/k$的泊松分布，所以它的期望$\mathbb{E}X_k = \frac{1}{k}$，那上面的乘积项应该是：

$$\prod_{k=1}^n \mathbb{E}X_k = \prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{n!}$$

把这个结果代回去的话，就能得到：

$$\mathbb{E}|M_n| = n! \times \frac{1}{n!} = 1$$

这样一来，$\mathbb{E}|M_n|=1 < \infty$，可积性就直接证明完成了！

另外我还有个后续问题：不确定这个$M_n$是不是一致可积鞅，想请教下这部分该怎么判断？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jjjcjjj893