关于n个人中恰好有t对共享相同生日的生日问题变体的求解咨询

我最近在琢磨一个生日问题的变体，问题本身很直白：假设有n个人，求其中恰好有t对共享相同生日的概率。

我尝试推导解法时，梳理出了下面几个核心步骤：

1. 先从“空图”的视角切入：把每个人看作一个唯一的顶点，两个人共享生日就用一条边来连接。
2. 接下来通过添加边，把整个图拆解成若干个完全子图，让所有子图的总边数刚好等于t。举个例子，如果k个人共享同一个生日，那这组人对应的共享对数就是$\frac{k*(k-1)}{2}$，反映在图结构上就是一个包含k个顶点的完全图。
3. 针对每一种符合总边数为t的图结构，计算对应的生日排列可能性。

举个具体的例子，当n=6，t=3时：
我们可以把6个人分成3组，每组2个人（这样对应3个不同的生日，刚好产生3对共享生日的情况）；另外一种情况是，找一组3个人共享同一个生日——这组人本身会产生$\frac{3*2}{2}=3$对，刚好满足t=3的要求，剩下的3个人各自生日都不相同，且都和这组人的生日不一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者svetysh