矩阵若尔当分解的推导及相关特征向量性质的证明问询

嘿，咱们一步步拆解这个问题，把逻辑理清楚：

首先明确已知条件：

• 假设$v$是矩阵$H$对应特征值$0$的特征向量
• $H$的若尔当分解为$H^J = SHS^{{-1}$，其中若尔当标准形$H}J$是严格上三角的若尔当块，具体形式为：
  $$
  H^J=\left( \begin{matrix}
  0& 1& \cdots& 0\
  0& 0& \cdots& 0\
  \vdots& \vdots& \ddots& 1\
  0& 0& 0& 0\
  \end{matrix} \right) , \quad (H^J){ij}=\delta{j-i,1}
  $$
  （从$H^J$的结构能直接看出，对应特征值$0$的特征向量$v$在相差非零常数倍的意义下是唯一的）

接下来咱们来证明结论：令$v^J := Sv$，则$v^J$是标准单位向量，即
$$
v^J=\left( \begin{array}{c}
1\
0\
\vdots\
0\
\end{array} \right) , \quad (v^J)i=\delta{1i}\tag{1}
$$

证明过程 #

从特征向量的核心定义出发：因为$v$是$H$对应特征值$0$的特征向量，所以满足$Hv = 0v = 0$。

对等式两边左乘可逆矩阵$S$，得到：
$SHv = S\cdot 0 = 0$

根据若尔当分解的定义，$H = S^{-1}HJ S$，把这个代入上式：
$S(S^{-1}HJ S)v = 0$
化简后可得$H^J (Sv) = 0$，也就是$H^J v^J = 0$（因为$v^J = Sv$）

现在设$v^J = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ a_n \end{pmatrix}$，代入$H^J v^J = 0$展开计算：

• 第一行结果：$0\cdot a_1 + 1\cdot a_2 + \dots + 0\cdot a_n = a_2$
• 第二行结果：$0\cdot a_1 + 0\cdot a_2 + 1\cdot a_3 + \dots + 0\cdot a_n = a_3$
• ...
• 第$n-1$行结果：$0\cdot a_1 + \dots + 1\cdot a_n = a_n$
• 第$n$行结果：$0$

因为$H^J v^J = 0$，所以所有行的结果都必须为0，即$a_2 = a_3 = \dots = a_n = 0$。

又因为$v$是特征向量（非零向量），且$S$是可逆矩阵，所以$v^J = Sv \neq 0$，因此$a_1$不能为0。我们可以取$a_1 = 1$（特征向量在相差非零常数倍的意义下唯一，这个取值不影响结论的一般性），最终就得到了：
$$v^J = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ \vdots \ 0 \end{pmatrix}$$
也就是$(v^J)i = \delta{1i}$，结论(1)得证。

另外你提到的“当$H$的唯一特征值不是0时”的内容似乎没写完，如果有后续的问题或补充，随时提出来咱们再接着分析~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Soriak