关于光滑代数曲线上全纯(1,0)形式的L²可积性与等价性的技术问询

设$C$是$\mathbb{C}$上的光滑代数曲线（我们可以将其视为紧黎曼曲面）。令$A$是$H^1(C,\mathbb{C})$中满足以下条件的全纯形式$\omega$的类构成的子集：
$$\int_{C}\omega\wedge\overline{\omega} <\infty$$

为什么$A=H^{1,0}(C,\mathbb{C})$？

包含关系$A\subset H^{{1,0}(C,\mathbb{C})$是显然的，但如果$C$是光滑的，是否意味着任意$(1,0)$型全纯形式都是$L}2$可积的？

感谢任何帮助或参考。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Conjecture