关于超空间n次对称幂与普通向量空间对称幂、外幂关系的证明问询

各位大佬好，我最近在学习超空间相关的内容，遇到一个困惑想请教大家：

给定一个向量空间 $V$，我们考虑其关联的平凡偶超空间 $V \oplus 0$ 和奇超空间 $0 \oplus V$。对于任意（超）向量空间 $W$，我们定义其$n$次对称幂为：
$$
\operatorname{Sym}^n(W) = W^{\otimes n}/\langle v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_n - \sigma(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_n),\ \sigma\in S_n\rangle
$$
其中 $S_n$ 是$n$个元素的对称群。

我已经在两篇资料里看到了下面的结论，但都没有给出证明：对于任意普通向量空间$V$，有
$$
\begin{align}
\operatorname{Sym}^n(V\oplus 0) &= \operatorname{Sym}^n(V)\tag{1}\
\operatorname{Sym}^n(0\oplus V) &= \wedge^n(V).\tag{2}
\end{align}
$$
不过我自己尝试推导的时候始终没弄明白其中的逻辑，想请教各位大佬能不能帮忙解释或者给出这两个等式的详细证明呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Albert