关于从ℝ到完备度量空间S的一致柯西连续函数列一致收敛性标准证明的理解问询

嘿，我最近在琢磨这么个问题：假设${f_n}_n$是一列连续函数，每个$f_n$都是从$\mathbb{R}$映射到完备度量空间$S$的，而且这个函数列是一致柯西的。我正试着搞懂证明这个序列会一致收敛到它的极限函数的「标准」证法，目前梳理出来的整体论证思路大概是这样的：

任取$\varepsilon > 0$，存在$N_\varepsilon\in\mathbb{N}$，使得对于所有满足$n \geq m\geq N_\varepsilon$的正整数$n,m$，都有$\forall x\in\mathbb{R}:d_S(f_n(x),f_m(x)) < \varepsilon$。现在对任意$x\in\mathbb{R}$，利用度量$d_S(.,.)$关于两个变量都连续的性质，我们可以让$n\to\infty$取极限……（注：原文此处有截断）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wasradin