求助：n次本原单位根构成ℚ上n次分圆域的基当且仅当n无平方因子的命题证明（⇐方向）

先把要证的原命题明确列出来：

证明：$n$次本原单位根构成有理数域$\mathbb{Q}$上$n$次分圆域的一组基，当且仅当$n$是无平方因子的整数。

目前我已经搞定了命题的$(\Rightarrow)$方向（用逆否命题推导），但卡在了$(\Leftarrow)$方向的证明上。先把我已经完成的$(\Rightarrow)$部分贴出来供大家参考：

$(\Rightarrow)$（逆否命题法）：假设$n$不是无平方因子的，那么存在素数$p$满足$p^2 \mid n$。设$\eta_n$是一个$n$次本原单位根，……（原推导内容后续截断）

现在想请教各位，该怎么完成$(\Leftarrow)$方向的证明——也就是当$n$是无平方因子时，如何证明所有$n$次本原单位根构成$\mathbb{Q}(\zeta_n)$在$\mathbb{Q}$上的一组基？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aram Nazaryan