推荐系统协同过滤中Python余弦相似度函数的范数计算原理问询

先把你提到的这段实现代码贴出来：

import numpy as np

def similarity(ratings, kind='user', epsilon=1e-9):
    if kind == 'user' :
        sim = ratings.dot(ratings.T)
    elif (kind=='item'):
        sim = ratings.T.dot(ratings) + epsilon
    norms = np.array([np.sqrt(np.diagonal(sim))])
    return (sim / norms / norms.T )

接下来我一步步给你拆解范数计算背后的数学逻辑，其实核心就是紧扣余弦相似度的定义：

1. 先回忆余弦相似度的核心公式 #

两个向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 的余弦相似度，本质是它们的点积除以两个向量的L2范数（欧几里得范数）的乘积，公式是：
$$
\text{cosine similarity}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) = \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{u}|| \times ||\boldsymbol{v}||}
$$
其中 $||\boldsymbol{u}|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2}$，也就是向量自身点积的平方根：$||\boldsymbol{u}|| = \sqrt{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}}$。

2. 先搞懂sim矩阵的意义 #

• 当kind='user'时，ratings是用户-物品评分矩阵（假设形状是$U \times I$，U是用户数，I是物品数），ratings.dot(ratings.T)会生成一个$U \times U$的矩阵，其中第$(i,j)$个元素就是用户i的评分向量和用户j的评分向量的点积 $\boldsymbol{u}_i \cdot \boldsymbol{u}_j$。
• 当kind='item'时，ratings.T.dot(ratings)生成$I \times I$的矩阵，第$(m,n)$个元素是物品m的评分向量和物品n的评分向量的点积 $\boldsymbol{v}_m \cdot \boldsymbol{v}_n$。

3. 范数norms的计算逻辑 #

np.diagonal(sim)会提取sim矩阵的对角线元素：

• 对用户模式来说，对角线元素是$\boldsymbol{u}_i \cdot \boldsymbol{u}_i$，也就是用户i评分向量自身的点积，这正好等于$||\boldsymbol{u}_i||^2$（L2范数的平方）。
• 对物品模式同理，对角线元素是$\boldsymbol{v}_m \cdot \boldsymbol{v}_m = ||\boldsymbol{v}_m||^2$。

然后np.sqrt(...)把这些平方值开根号，就得到了每个用户（或物品）向量的L2范数。最后用np.array([...])把结果转成行向量（形状是$1 \times U$或$1 \times I$），方便后续的广播运算。

4. 最后一步的广播除法是关键 #

sim / norms / norms.T利用了Numpy的广播机制，完美对应余弦相似度的计算：

• 第一步sim / norms：把$U \times U$的sim矩阵的每一行，都除以行向量norms中对应的元素（也就是每个用户i的范数$||\boldsymbol{u}_i||$），此时矩阵的$(i,j)$元素变成$\frac{\boldsymbol{u}_i \cdot \boldsymbol{u}_j}{||\boldsymbol{u}_i||}$。
• 第二步再除以norms.T（转成列向量，形状$U \times 1$）：把每一列再除以对应的用户j的范数$||\boldsymbol{u}_j||$，最终$(i,j)$元素就变成$\frac{\boldsymbol{u}_i \cdot \boldsymbol{u}_j}{||\boldsymbol{u}_i|| \times ||\boldsymbol{u}_j||}$，完全符合余弦相似度的公式！

另外提一句，物品模式里加了epsilon是为了避免某个物品没有任何评分时，范数为0导致除零错误，这个小细节是为了提升代码的鲁棒性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nithin Varghese