寻求方程$x^x=(x-n)^{(x+n)}$的大$n$高精度近似解方法

最近我研究了一个挺有意思的方程求解问题：$x^x=(x-n){x+n}$，为了方便后续分析，我把原方程改写为对数形式：
$$g(x)=x\log(x)-(x+n)\log(x-n)$$

通过两次级数展开，我得到了当$n$取值很大时的首个近似估计：
$$x_n^{(0)}=n+\sqrt n+\frac 14 \log(n)+\frac 12 \tag 1$$

从实际计算的对比结果来看，这个初始估计的表现还不错：

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Claude Leibovici