直接证明当x≥2时素数乘积∏(1-1/p)⁻¹ > log x的方法问询

大家好，我想证明对于实数(x \geq 2)，有以下不等式成立：
$$\prod_{\substack{p \leq x \ p \text{ 是素数}}} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^{-1} > \log x.$$

我之前看到过用Merten定理来证明这个结论的内容，但我更想尝试不用Merten定理的直接证明方法。

我自己先做了一点推导：比如两个素数(p)和(q)的情况，展开后有
$$\left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 - \frac{1}{q}\right) = 1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{1}{pq}$$
顺着这个思路用归纳法推导，发现这个素数乘积可以转化为莫比乌斯函数的求和形式：
$$\prod_{\substack{p \leq x \ p \text{ 是素数}}} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) = \sum_{n \leq x} \frac{\mu(n)}{n},$$
这里的(\mu)是莫比乌斯函数。

我在想，或许换成这种求和形式会更容易做上下界的估计？不过目前还没找到清晰的方向，想问问有没有能提供不用Merten定理的直接证明思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Robin