图的中心是否必位于长度等于图直径的路径上？

嘿，这个观察真的很敏锐！先直接给你答案：不是所有图的中心都一定落在长度等于直径的路径上，我们可以构造出明确的反例。

先快速回顾下关键定义：

• 图的直径：图中任意两点间最短路径的最大长度；
• 图的中心：离心率（该点到图中最远点的最短路径长度）最小的顶点。

举个简单的反例：
想象一个由三角形（顶点A、B、C两两相连）延伸出两条长路径的图：从A出发连出路径A→D→E，从C出发连出路径C→F→G。

• 先算直径：E到G的最短路径是E-D-A-C-F-G，长度为5，这就是这个图的直径；
• 再找中心：
  • E和G的离心率是5（互相之间的距离）；
  • D和F的离心率是4（比如D到G的最短路径长度是4）；
  • A和C的离心率是3（A到G的最短路径长度是3）；
  • 顶点B呢？它到E的最短路径是B-A-D-E（长度3），到G的最短路径是B-C-F-G（长度3），到其他点的距离都更短，所以B的离心率也是3，属于图的中心。

但你看，所有长度等于直径（5）的路径都是E-D-A-C-F-G（或反向），而B根本不在这条路径上——这就说明存在中心不在任何直径路径上的图。

你提到树的情况成立，这是对的：树里没有环，直径路径是唯一的（或者所有直径路径都共享核心段），中心必然在这条路径的中点位置。但一般图因为有环的存在，中心可以借助环来“兼顾”各个远端点，不需要依附在最长的那条直径路径上。你的直觉（中心想把最大距离“对半分”）在无环图里完全成立，但到了有环图就有例外啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MMMagician