关于索霍茨基-普莱梅利公式向四维及更高维度推广的技术问询

先给大家回顾一下经典的索霍茨基-普莱梅利公式，它的表达式是：
$$
\frac{1}{x \pm \textbf i \eta} = \mathcal{P} \left(\frac1x\right) \mp \textbf i\pi \delta(x)
$$
需要注意的是，这个等式是在积分内部才成立的，其中$\mathcal{P}$代表柯西主值，并且要求$\eta\rightarrow 0^+$。

后来这个公式在二维空间有了对应的推广，也就是庞加莱-伯特兰公式，具体形式如下：
$$
\frac{1}{x_1 - \textbf i s_1\eta} \frac{1}{x_2 - \textbf i s_2 \eta} = \left(\mathcal{P} \left(\frac1{x_1}\right) + \textbf i\pi s_1\delta(x_1)\right) \left(\mathcal{P} \left(\frac1{x_2}\right) + \textbf i\pi s_2\delta(x_2)\right) + \pi^2 \delta(x_1)\delta(x_2)
$$
这里的$s_j$取值为$\pm 1$。

我的问题是：有没有针对四维（或者更高维度）的类似推广公式呢？我想用来处理包含这类多极点结构的积分，希望能得到相关的结论或者思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Steven