关于勒让德变换（Legendre Transform）定义的疑惑：形式选择与“信息保留”的含义及实例问询

我最近一直在琢磨勒让德变换的定义，有点绕不过弯来，想请教一下。

假设我有一个函数 $F(x)$，定义 $s = \frac{dF}{dx}$，现在我想建立起 $F(x)$ 和 $s$ 之间的关联，可勒让德变换偏要定义成：
$$G(s) = sx(s) - F(x(s))$$

我就纳闷了，为啥不能直接写成 $G(s) = F(x(s))$ 呢？

我看了一些资料，里面说勒让德变换保留了 $F(x)$ 携带的某些“信息”，但如果用 $G(s)=F(x(s))$ 这种形式，这些信息就丢了。这里说的“信息”到底是什么意思啊？能不能给我举个具体的例子帮我理解？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者eitann