证明子群乘积HK=A₅的代数问题求助

大家好，我现在卡在一个群论的证明题上了，想请各位大佬帮忙看看：

问题背景 #

已知对称群 $G=S_5$，交错群 $H=A_4$，还有由5-循环生成的子群 $K=\langle (12345)\rangle$，需要证明集合 $HK={hk \mid h\in H, k\in K}$ 等于交错群 $A_5$。

我的思路（卡壳中） #

我已经明确 $H$ 和 $K$ 都是 $G$ 的子群，目前只想到了大致的证明方向：

• 第一步得先证明 $HK$ 是 $G$ 的子群（我记得有个群论的结论：群 $G$ 的两个子群 $H,K$，$HK$ 是子群的充要条件是 $HK=KH$，不过这部分我还没严谨推导出来）
• 第二步要证明这个子群 $HK$ 恰好就是 $A_5$

可是具体的细节怎么推完全没头绪，有没有大佬能帮我把证明补全，或者给我点关键提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者General Mathematics