拉格朗日乘数法求解约束优化问题时遭遇方程组求解难题

嘿，我最近在处理下面这个优化问题的时候有点卡壳，想请大家帮忙看看：

问题： 在约束条件 $ab + bc + cd + da = 25$ 下，最小化目标函数 $108a + 27b^2 + 4c^3 + d^4$ 的值。

我尝试用拉格朗日乘数法来解，得到了下面这个方程组：
$$\begin{cases} 108 &= \lambda(b+d) \ 54b &= \lambda (a+c) \ 12c^2 &= \lambda(b+d) \ 4d^3 &= \lambda(a+c) \ (b+d)(a+c) &= 25 \end{cases}$$

到这一步之后，我就卡在解这个方程组上了。我已经把第一个方程和第三个方程的左边联立起来，得到了 $c = \pm 3$，还有 $27b = 2d^3$ 这个关系。

我感觉应该有个巧妙的技巧，比如给某个方程两边乘个在其他方程里出现的因子，但我就是找不到这个点。除此之外，我能推导出来的其他结论都没什么用，实在不知道该往下怎么走了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kjamesxyz