关于小波两种不同定义的等价性及关联咨询

我刚入坑小波理论，最近翻文献的时候发现关于小波的定义居然有两种不同的说法，看得我一头雾水，想搞清楚它们之间的关联：

第一种定义 #

一个小波是满足如下条件的函数 $\psi \in L^2(\mathbb{R})$：
$$
C_{\psi} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} , d\omega < \infty,
$$
其中 $\hat{\psi}(\omega)$ 是 $\psi(t)$ 的傅里叶变换。

第二种定义 #

设 $\psi \in L^2(\mathbb{R})$，对于 $j, k \in \mathbb{Z}$，定义函数 $\psi_{j,k}$ 如下：
$$
\psi_{j,k}(x) := 2^{j/2} \psi(2^j x - k), \quad x \in \mathbb{R}.
$$
函数 $\psi$ 被称为小波，当且仅当由这些 $\psi_{j,k}$ 构成的函数族满足相应的完备性或正交性条件（原文此处表述未完成，推测为这类核心要求）。

想请教下，这两种定义之间到底是什么关系？是等价的，还是存在包含关系呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathstudent