关于有理数集开子集内点概念及$(-e, \sqrt{2})$为开集的困惑

嘿，我完全懂你的困惑——刚接触子空间拓扑的时候，很容易把母空间（这里是实数集$\mathbb{R}$）的直觉带到子空间（有理数集$\mathbb{Q}$）里来，这就是问题的核心所在！咱们一步步拆解清楚：

• 先明确子空间拓扑下的开集定义：在$\mathbb{Q}$中，一个集合$U$是开集，当且仅当存在$\mathbb{R}$中的开集$V$，使得$U = V \cap \mathbb{Q}$。你提到的$(-e, \sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}$（也就是你写的$(-e, \sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}$，本质是和$\mathbb{Q}$的交集），因为$(-e, \sqrt{2})$本身是$\mathbb{R}$中的开区间（属于$\mathbb{R}$的开集），所以它和$\mathbb{Q}$的交集自然符合$\mathbb{Q}$中开集的定义。

• 再澄清相对子空间的内点定义：你混淆了$\mathbb{R}$中的内点和$\mathbb{Q}$中的内点！在$\mathbb{Q}$里，一个点$x$是集合$U$的内点，不是要求存在$\mathbb{R}$中的$\epsilon$-球完全包含在$U$里，而是要求存在**$\mathbb{Q}$中的$\epsilon$-邻域**（也就是$\mathbb{R}$中的$\epsilon$-球与$\mathbb{Q}$的交集）完全包含在$U$里。
  拿你说的$\frac{1}{4}$举例：

  1. 先选一个正数$\epsilon$，比如$\epsilon = \min\left(\frac{1}{4} - (-e), \sqrt{2} - \frac{1}{4}\right)$，这个$\epsilon$肯定是正数，因为$\frac{1}{4}$落在$(-e, \sqrt{2})$区间内。
  2. 考虑$\mathbb{R}$中的开球$B_{\mathbb{R}}\left(\frac{1}{4}, \epsilon\right)$，这个球里的所有有理数构成的集合就是$\mathbb{Q}$中的邻域$B_{\mathbb{Q}}\left(\frac{1}{4}, \epsilon\right)$。
  3. 由于我们选的$\epsilon$保证了$B_{\mathbb{R}}\left(\frac{1}{4}, \epsilon\right)$完全包含在$(-e, \sqrt{2})$里，所以$B_{\mathbb{Q}}\left(\frac{1}{4}, \epsilon\right) = B_{\mathbb{R}}\left(\frac{1}{4}, \epsilon\right) \cap \mathbb{Q}$自然也完全包含在$(-e, \sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}$中。
     这里根本不用管球里有没有无理数——因为在$\mathbb{Q}$的拓扑里，我们只关心$\mathbb{Q}$中的点，邻域里的元素只需要都是$\mathbb{Q}$的成员且属于目标集合就够了！

• 补充你提到的“既开又闭”现象：你说这个集合在$\mathbb{Q}$里也是闭集，这其实是子空间拓扑里很常见的情况，这类集合叫clopen集（既开又闭集）。因为$\mathbb{Q}$在$\mathbb{R}$中是稠密但不闭的，$\mathbb{R}$里的无理数空隙导致$\mathbb{Q}$中存在大量这样的clopen集，比如所有介于两个无理数之间的有理数构成的集合，通常都是既开又闭的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger