射影群嵌入问题：区分生成群包含交错群或含射影线性群的最简方法问询

嘿，我现在遇到这么一个群论问题想请教大家：

设$G$是由一个$n=2^k$次置换生成的群，这个置换的循环分解有两种可能：

• 情况1：仅包含一个单循环（也就是说$G$是$n$阶循环群）
• 情况2：包含两个长度相等的循环（每个循环的长度都是$2^{k-1}$）

我现在关注的是群$\langle G,h\rangle$，其中$h$是某个置换，要求这个群至少是2-传递的。根据一些分类定理来看，不管是上面哪种情况，$\langle G,h\rangle$都只有两种可能性：要么它包含交错群$A_n$，要么存在某个素数$q$，满足$n=\frac{q^m-1}{q-1}$，并且$PSL_m(q) \leq \langle G,h\rangle \leq P\Gamma L_m(q)$。

我想知道的是：区分这两种情况的最简手段是什么？（比如会不会和某个元素的不动点数量有关？原问题此处表述未完成，核心疑问为上述内容）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marja