关于函数$f(z)=(z^2+1)\sin\Big(\frac{1}{z}\Big)\cos\Big(\frac{1}{z}\Big)$在孤立奇点$z=0$处的阶数推导与留数计算的正确性问询及替代方法咨询

嘿，咱们来仔细捋一捋你的推导和疑问，看看哪里对、哪里可以优化：

阶数推导的正确性 #

你第一步用三角恒等式$\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$，把原函数转化为$f(z)=\frac{(z^2+1)}{2}\sin\Big(\frac{2}{z}\Big)$，这一步非常巧妙，直接简化了后续的级数展开工作，完全正确。

接下来展开$\sin\Big(\frac{2}{z}\Big)$的洛朗级数：
$$\sin\Big(\frac{2}{z}\Big) = \frac{2}{z} - \frac{(2/z)^3}{3!} + \frac{(2/z)^5}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{(2n+1)! z^{2n+1}}$$

将其与$\frac{z^2+1}{2}$相乘后，展开得到的洛朗级数会包含无穷多个负幂次项（$\frac{1}{z}, \frac{1}{z^3}, \frac{1}{z^5}, \dots$）。根据本性奇点的定义——洛朗级数中存在无穷多负幂次项，此时奇点的阶数为$-\infty$，所以你得出的$ord(0,f)=-\infty$是完全正确的。

留数计算的正确性 #

留数的定义是洛朗级数中$\frac{1}{z}$项的系数。你最初只计算了展开式第一项的贡献，得到$\frac{2}{2}=1$，但忽略了后续项中同样会产生$\frac{1}{z}$的系数：

• 第一项$\frac{z^2+1}{2} \cdot \frac{2}{z} = z + \frac{1}{z}$，这里$\frac{1}{z}$的系数是1；
• 第二项$\frac{z^2+1}{2} \cdot \left(-\frac{(2/z)^3}{3!}\right) = -\frac{z^2+1}{2} \cdot \frac{8}{6z^3} = -\frac{2}{3z} - \frac{2}{3z^3}$，这里$\frac{1}{z}$的系数是$-\frac{2}{3}$；

把这两部分的系数相加，得到$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，这和你编辑后的结果一致，所以最终$res(0,f)=\frac{1}{3}$是正确的。

替代计算方法 #

除了你用的三角恒等式+洛朗展开法，还有两种常用的思路：

• 直接展开$\sin\frac{1}{z}$与$\cos\frac{1}{z}$的级数：
  利用已知的级数展开：
  $$\sin\frac{1}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)! z^{2n+1}}, \quad \cos\frac{1}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)! z^{2n}}$$
  将两者相乘后再乘以$(z^2+1)$，通过级数卷积计算出$\frac{1}{z}$项的系数，就能得到留数。不过这种方法计算量稍大，但原理直观。
• 变量替换转化为无穷远点的留数：
  令$w=\frac{1}{z}$，则$z=\frac{1}{w}$，原函数变为：
  $$f\left(\frac{1}{w}\right) = \left(\frac{1}{w^2}+1\right)\sin w \cos w = \frac{(1+w^2)}{2w2}\sin2w$$
  此时$z=0$对应$w=\infty$，根据留数的关系：$res(0,f) = -res(\infty, f(\frac{1}{w}))$。计算无穷远点的留数可以通过转化为原点的留数来完成，最终也能得到相同的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P