请求证明Clifford代数的单位乘法群是开流形并为李子群

For any finite-dimensional real or complex vector space $V$ and symmetric bilinear form $g$ on $V$, the Clifford algebra $\mathrm{Cl}(V,g)$ has a natural smooth structure, arising from its vector space structure. The multiplicative group of units is defined to be
$$
\mathrm{Cl}(V, g)^\times:={\varphi\in \mathrm{Cl}(V, g)| \exists \varphi^{-1}\ \mathrm{s.t. }\ \varphi\varphi^{-1}=\varphi{-1}\varphi=1}.
$$

I want to prove that $\mathrm{Cl}(V,g)^\times$ is an open manifold, and thus a Lie subgroup. I have known

• The dimension of the clifford algebra is $2^{\dim V}$
• $V\setminus{0}\subset \mathrm{Cl}(V,g)^\times$
  Appreciate any help or hints.

嘿，我来帮你把这个证明的思路理清楚，其实核心可以从有限维结合代数的单位群的通用性质出发，再结合Clifford代数的结构来推导：

首先，先明确你已经给出的关键前提：

• $\mathrm{Cl}(V,g)$是有限维实/复向量空间（维度$2^{\dim V}$），自带由向量空间结构诱导的标准光滑结构（毕竟有限维向量空间都和$\mathbb{R}^{n$或$\mathbb{C}}n$微分同胚）；
• $V\setminus{0}$包含在单位群里，这说明单位群非空，是个好的起点。

接下来分两步完成证明：

第一步：证明$\mathrm{Cl}(V,g)^\times$是开流形 #

对于任意有限维结合代数$A$（这里$A=\mathrm{Cl}(V,g)$），单位群$A^\times$是开子集的证明是通用的，具体步骤如下：

1. 定义左乘映射$L_\varphi: A \to A$，即$L_\varphi(\psi) = \varphi\psi$——这是一个线性算子，因为Clifford乘法对加法是分配的。
2. 考虑映射$f: A \to \mathbb{R}$（实代数）或$f: A \to \mathbb{C}$（复代数），$f(\varphi) = \det(L_\varphi)$。线性算子的行列式是其矩阵元素的多项式，而$\varphi$的坐标对应矩阵元素的线性组合，所以$f$是关于$\varphi$坐标的多项式函数，自然是连续的。
3. 注意到$\varphi \in A^\times$当且仅当$L_\varphi$是可逆线性算子，也就是$\det(L_\varphi) \neq 0$——因为线性算子可逆等价于行列式非零。
4. 由于$\mathbb{R}\setminus{0}$（实情况）或$\mathbb{C}\setminus{0}$（复情况）都是开集，而连续映射的原像保持开集，所以$f^{{-1}(\mathbb{R}\setminus{0})$（或$f}{-1}(\mathbb{C}\setminus{0})$）就是$A$中的开子集，也就是$\mathrm{Cl}(V,g)^\times$。

因为$\mathrm{Cl}(V,g)$是光滑流形，它的开子集自然继承光滑结构，所以$\mathrm{Cl}(V,g)^\times$是开流形。

第二步：证明$\mathrm{Cl}(V,g)^\times$是Lie子群 #

要证明它是Lie群，只需要验证三个条件：

1. 它是光滑流形（第一步已经搞定）；
2. 乘法运算限制在$\mathrm{Cl}(V,g)^\times \times \mathrm{Cl}(V,g)^\times$上是光滑的——原乘法是双线性映射，有限维空间上的双线性映射都是光滑的，开子集上的限制自然也光滑；
3. 逆映射$\iota: \mathrm{Cl}(V,g)^\times \to \mathrm{Cl}(V,g)^\times$（$\varphi \mapsto \varphi^{-1}$）是光滑的。

关于逆映射的光滑性，有两种常用的证明方式：

• 方式一：Cramer法则视角：可逆元$\varphi$的逆可以表示为$L_\varphi$的伴随矩阵除以$\det(L_\varphi)$。伴随矩阵的每个元素都是$\varphi$坐标的多项式，而$\det(L_\varphi)$是不为零的多项式，所以$\varphi^{-1}$的每个坐标都是$\varphi$坐标的有理函数（多项式除以非零多项式），在$\det(L_\varphi) \neq 0$的开集上是光滑的。
• 方式二：隐函数定理视角：考虑映射$F: A \times A \to A$，$F(\varphi,\psi) = \varphi\psi - 1$。对于任意$(\varphi_0,\psi_0) \in A^\times \times A^\times$满足$F(\varphi_0,\psi_0)=0$，计算$F$关于$\psi$的偏导数，得到$L_{\varphi_0}$——这是可逆线性算子。根据隐函数定理，存在$\varphi_0$的邻域$U$和光滑映射$\psi: U \to A$，使得$F(\varphi,\psi(\varphi))=0$，也就是$\psi(\varphi)=\varphi^{-1}$，这说明逆映射在局部光滑，整体也就光滑了。

满足这三个条件后，$\mathrm{Cl}(V,g)^\times$就是Lie群，同时因为它是$\mathrm{Cl}(V,g)$的开子集，所以是正则Lie子群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者yomikuan