关于证明渐屈线是曲率中心的几何轨迹的技术问询

我最近在试着证明渐屈线是曲率中心的几何轨迹，下面是我目前的推导过程，想和大家探讨下：

设$\boldsymbol{r}(s)$是弧长参数化的曲线，曲线上点$\boldsymbol{r}(s)$处的法线方程为：
$$\boldsymbol{r}(s) + \lambda \boldsymbol{N}(s)$$
这里的$\lambda$是参数，用来表示法线上的点到$\boldsymbol{r}(s)$的距离。

而渐屈线$E(s)$上的每一点都满足如下关系式：
$$E(s) = \boldsymbol{r}(s) + \lambda(s) \boldsymbol{N}(s)$$

对这个等式关于弧长参数$s$求导，得到：
$$\frac{d}{ds} E(s) = \boldsymbol{r}'(s) + \lambda'(s)\boldsymbol{N}(s) + \lambda(s)\boldsymbol{N}'(s)$$

这里用到一个重要的几何结论：渐屈线在某点的切线，与原曲线对应点的法线是重合的，因此我们有：
$$\frac{d}{ds} E(s) = \boldsymbol{N}(s)$$

另外，根据Frenet公式，单位法向量的导数满足：
$$\boldsymbol{N}'(s) = -\kappa(s)\boldsymbol{T}(s)$$
其中$\kappa(s)$是曲线在点$s$处的曲率，$\boldsymbol{T}(s)$是单位切向量。

将这个式子代入求导后的等式，就得到：
$$(1 - \lambda'(s))\boldsymbol{N}(s) + (\lambda(s...$$

（目前推导到这里内容有点截断，后续应该可以通过切向量和法向量的正交性，解出$\lambda(s)$等于曲率半径$\frac{1}{\kappa(s)}$，从而证明渐屈线的点就是曲率中心）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Grant