指数映射下原始值转归一化值的反向公式推导求助

首先得说，你遇到的这个问题其实挺典型的——你的正向映射里同时包含了指数项和线性项，这导致反向方程变成了超越方程，没办法用常规的对数、指数这类初等函数写出解析解，我给你一步步理清楚：

先明确正向映射公式 #

你给出的正向公式是：
$$y= p_{min}+\left(2^{(f\cdot x-f)}-2^{-f}\cdot(1-x)\right)\cdot p_{max} $$
先简化一下，把式子整理成更方便推导的形式：
移项后得到：
$$\frac{y - p_{min}}{p_{max}} = 2^{f(x-1)} - 2^{-f}(1 - x)$$
如果令 $z = 1 - x$（把x转换成1-x，方便看结构），代入后式子变成：
$$\frac{y - p_{min}}{p_{max}} = 2^{-fz} - 2^{-f}z$$
再令 $k = 2^{-f}$，就得到：
$$k^z - kz = C \quad \text{其中 } C = \frac{y - p_{min}}{p_{max}}$$

为什么你的反向公式不对？ #

你之前推导时错误地忽略了式子中的线性项 $(1-x)$，把它当成纯指数映射来反向推导，所以得到的结果不符合实际。更关键的是，上面这个方程属于超越方程——同时包含指数函数和线性函数，这类方程无法用初等函数（对数、指数、三角函数等）写出z的解析表达式，自然也没法直接写出x的解析形式。

可行的解决方案：数值迭代法 #

不过不用担心，你的正向映射是严格单调递增的（对x求导就能验证：导数是 $p_{max}\left(f\ln2\cdot2^{f(x-1)} + 2^{-f}\right)$，所有项都是正数，y随x增大而单调递增），所以每个有效的y值都对应唯一的x值，我们可以用牛顿迭代法快速求出精确解，步骤如下：

1. 定义需要求解的函数：
   $$F(x) = p_{min} + \left(2^{f(x-1)} - 2^{-f}(1 - x)\right)p_{max} - y$$
   我们的目标是找到x使得 $F(x)=0$。

2. 求F(x)的导数：
   $$F'(x) = p_{max} \left( f\ln2 \cdot 2^{f(x-1)} + 2^{-f} \right)$$

3. 牛顿迭代公式：
   $$x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)}$$

4. 迭代初始化：
   选一个接近真实值的初始值即可，比如：

• 如果y接近 $p_{min}$，选 $x_0=0$；
• 如果y接近 $p_{min}+p_{max}$（x=1时的y值），选 $x_0=1$；
• 或者用线性映射的结果作为初始值：$x_0 = \frac{y - p_{min}}{p_{max}}$

一般迭代3-5次就能收敛到足够精确的结果了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Roel