带顶部的删除梳状空间中两点距离定义及度量空间合法性的技术问询

咱们先把问题拆解开，从最基础的定义开始捋，就能把这些困惑都理清：

首先，明确这个空间的身份：它是欧氏平面ℝ²的子空间——包含y=0、y=1两条水平线，以及所有x=1/n（n为自然数）的竖直线段（连接y=0到y=1）。作为欧氏空间的子空间，它的度量是直接继承自欧氏平面的，这是关键！

1. 两点的度量距离到底是多少？ #

(0,0)和(0,1)这两个点本身就在这个空间里，根据子空间度量的定义，它们之间的距离就是欧氏平面里的距离1——这个定义和空间里有没有路径能“走直线”到达这个距离完全无关。你可能混淆了两个核心概念：

• 度量距离：是子空间从母空间继承的先天属性，直接取两点的欧氏距离，不需要考虑路径；
• 路径长度的下确界：也就是所谓的“内在度量”，是所有连接两点的路径长度的最小极限值。这里所有路径的长度都是1+2/n（比如走x=1/n的路径：从(0,0)沿y=0走到(1/n,0)，再竖走到(1/n,1)，最后沿y=1走回(0,1)），确实趋近于1，但这个下确界刚好等于度量距离1，所以本质上是一致的。

2. 这个空间是不是良定义的度量空间？ #

完全是！因为欧氏平面是一个合法的度量空间，而它的任何子集都可以自然地成为子空间度量空间——继承母空间的度量后，自动满足度量的三大公理：

• 正定性：d(a,b)=0当且仅当a=b；
• 对称性：d(a,b)=d(b,a)；
• 三角不等式：d(a,c)≤d(a,b)+d(b,c)。

它的路径连通性也和度量合法性不矛盾：路径连通只要求存在连接任意两点的路径，不要求这些路径的长度能达到两点的度量距离。

3. 关于“极限定义距离”的疑问 #

不需要用极限来定义距离，因为子空间的度量是直接继承的，(0,0)和(0,1)的距离就是1。你观察到的路径长度趋近于1，只是说明所有连接两点的路径长度都大于1，但它们的下确界是1——这个下确界刚好等于原度量距离，所以其实内在度量（由路径长度下确界定义的度量）和原继承度量是一致的，并没有冲突。

总结一下：

• d((0,0),(0,1))=1，这是继承自欧氏空间的直接结果；
• 这个空间是完全合法的度量空间；
• 路径长度的极限只是反映了路径能无限接近但达不到“直线距离”，但这并不改变两点的固有度量距离。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Electro-blob