关于推导所得朗斯基行列式（Wronskian）公式的有效性验证

嘿，你的推导完全正确！这个公式确实是朗斯基行列式的一个合法且实用的变形，只要满足你提到的*$y_1(x) \neq 0$*这个前提条件，它在$y_1$和$y_2$可导的区间内始终成立。

咱们先回顾一下你的推导过程（逻辑链非常清晰）：

首先，朗斯基行列式的定义是：
$$
W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \
y_1' & y_2'
\end{vmatrix} = y_1y_2'-y_2y_1^{\prime}
$$

然后利用微积分里的商的导数法则：
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{y_2}{y_1}\right) = \frac{y_1y_2'-y_2y_1'}{y_1^2}
$$

将朗斯基行列式的定义代入上式，就可以直接得到：
$$
\begin{align}
\frac{W(y_1,y_2)}{y_1^2} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{y_2}{y_1}\right)
\[3mm]
W(y_1,y_2) &= y_1^2\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{y_2}{y_1}\right)\right)
\end{align}
$$

为什么这个结论可靠？ #

• 商的导数法则的适用条件就是：$y_1$和$y_2$在区间内可导，且$y_1 \neq 0$，这正好是你给出的前提，所以推导的每一步都没有问题。
• 这个变形本质上只是对朗斯基行列式定义的代数重写，没有引入任何额外假设，所以只要满足前提，结果必然成立。

实际应用价值 #

这个公式在计算朗斯基行列式时很实用：比如当你已经知道$\frac{y_2}{y_1}$的导数，或者这个比值的导数更容易计算时，直接用这个公式比代入原始定义更高效。不过要注意，一旦$y_1(x)$在某个点取值为0，这个公式就会因为分母为零而失效，此时必须回到原始定义式计算朗斯基行列式。

举个验证例子 #

假设$y_1(x)=\sin x$（在$x \neq k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$的区间内不为零），$y_2(x)=\cos x$：

• 用原始定义计算：$W(y_1,y_2)=\sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot \cos x = -\sin^2x - \cos^2x = -1$
• 用你的公式计算：$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^{2x$，所以$W(y_1,y_2)=\sin}2x \cdot (-\csc^2x)=\sin2x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right)=-1$，结果完全一致。

所以放心用吧，你的推导是完全正确的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cherrytree