求证函数$f(z)= \frac{1}{z^2-z}$在$\mathbb{C}-[0,1]$上是否存在原函数

嘿，咱们一步步拆解这个问题，搞清楚这个复变函数到底有没有原函数：

首先先把函数变形一下：$f(z)= \frac{1}{z^2-z}= \frac{1}{z(z-1)}$，很明显这个函数有两个极点，分别在$z=0$和$z=1$处。接下来我们考虑$\mathbb{C}-[0,1]$里的任意一条简单环路$\gamma$，分两种情况讨论积分：

• 情况1：环路$\gamma$对0的环绕数为0
  这里要用到一个关键结论：因为$[0,1]$是连通的线段，所以如果$\text{ind}(0,\gamma)=0$，那必然$\text{ind}(1,\gamma)=0$——要是不然的话，$[0,1]$就会被$\gamma$分割成不连通的两部分，这显然和线段的连通性矛盾。
  这时候用留数定理计算积分：
  $$\int_{\gamma}f dz=2\pi i (\text{res}(0,f)+\text{res}(1,f))$$
  计算留数：$\text{res}(0,f)=\lim_{z\to0}z\cdot\frac{1}{z(z-1)}=-1$，$\text{res}(1,f)=\lim_{z\to1}(z-1)\cdot\frac{1}{z(z-1)}=1$，代入后得到：
  $$2\pi i (-1+1)=0$$

• 情况2：环路$\gamma$在$\mathbb{C}-[0,1]$内是零伦的
  简单说就是这条环路可以连续收缩成区域里的一个点，这时候直接用柯西定理就能得出$\int_{\gamma} f dz=0$。

不管是哪种情况，$\mathbb{C}-[0,1]$内任意简单环路的积分结果都是0。根据复变函数里的原函数存在定理：如果在某个区域内，所有闭合环路的积分都为0，那么该区域内的函数存在原函数。所以我们可以得出结论：$f(z)$在$\mathbb{C}-[0,1]$上存在原函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P