如何推导格群（l-group）的分配律？

嘿，我来帮你把这个反向包含的推导理得明明白白～

首先先回顾你已经捋顺的内容：

• 咱们知道l-group的定义：G既是群也是偏序集，不管是左平移、右平移还是同时做左右平移，群平移操作都保序，也就是对任意$a,x,y,b\in G$，只要$x\leq y$就有$a+x+b\leq a+y+b$；同时G是格，任意两个元素都有最小上界（用$\vee$表示lub）和最大下界。
• 你已经能推出$(a+x)\vee(a+y)\leq a+(x\vee y)$，这一步逻辑很顺：因为$x\leq x\vee y$，左平移保序所以$a+x\leq a+(x\vee y)$，同理$a+y\leq a+(x\vee y)$，而$(a+x)\vee(a+y)$是这两个元素的最小上界，自然要小于等于它们的共同上界$a+(x\vee y)$。

现在重点解决反向的$a+(x\vee y)\leq (a+x)\vee(a+y)$，咱们借助群的可逆性和格的最小上界定义来推：

1. 先设$u = (a+x)\vee(a+y)$，根据最小上界的定义，肯定有$a+x\leq u$且$a+y\leq u$。
2. 利用群平移的逆操作保序性：既然群平移是保序的，那它的逆操作（也就是左移$-a$）也保序——从$a+x\leq u$出发，两边同时加上$-a$（群里的逆元），根据群运算的相容性，就能得到$x = -a + (a+x) \leq -a + u$；同理，$y = -a + (a+y) \leq -a + u$。
3. 这时候看$x\vee y$的定义：它是x和y的最小上界，意思是只要某个元素同时大于等于x和y，那它一定大于等于$x\vee y$。刚才咱们得到$-a + u$同时是x和y的上界，所以必然有$x\vee y \leq -a + u$。
4. 最后对这个不等式做左平移$a$（还是用保序性），就得到$a + (x\vee y) \leq a + (-a + u) = u = (a+x)\vee(a+y)$。

把前后两个方向的结论合起来，就得到了$a+(x\vee y)=(a+x)\vee(a+y)$，咱们要的分配律就证完啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User