仅取两值的随机变量满足E(XY)=E(X)E(Y)时独立性的证明问询

我遇到了这么个问题：

Problem. 设$X$和$Y$是仅取两个值的随机变量。若$E(XY)=E(X)E(Y)$，则$X$和$Y$相互独立。

我试着推导这个结论，但一直没成功，下面是我目前的思路：

设$x_1$和$x_2$是$X$的两个取值，$y_1$和$y_2$是$Y$的两个取值。我们知道：

$$\begin{align*}
E(XY)&=x_1y_1P(XY=x_1y_1)+x_1y_2P(XY=x_1y_2)\
&\quad+x_2y_1P(XY=x_2y_1)+x_2y_2P(XY=x_2y_2)\[1ex]
&=x_1y_1P(X=x_1, Y=y_1)+x_1y_2P(X=x_1, Y=y_2)\
&\quad+x_2y_1P(X=x_2, Y=y_1)+x_2y_2P(X=x_2, Y=y_2)
\end{align*}$$

（注：原推导思路内容未写完，以上为已给出的部分）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RataMágica