关于无定向单纯复形中“边界的边界为0”的解释咨询

我之前学习代数拓扑时，已经了解到边界算子的核心性质$\partial^2=0$，更精确的表述是$\partial_{n-1}\partial_n=0$。如果我们把所有$n$-单形选作$n$-链向量空间的基，那么边界算子$\partial_n$对应的矩阵就是第$n$个关联矩阵$B_n$。

这里有个关键的区分需要明确：

• 对于定向单纯复形，关联矩阵的元素只能是-1、0、1，而且对任意阶数$n$，都满足$B_nB_{n+1}=0$，这正好对应了$\partial^2=0$的拓扑性质。
• 但换到无定向单纯复形时，关联矩阵变成了仅含0和1的矩阵，这时候$B_nB_{n+1}$就不再必然是零矩阵了——这一点一开始让我很困惑，后来才想明白其中的缘由：

在无定向的框架下，“边界的边界为0”这个性质其实是在$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（模2整数）系数的链复形中才成立的。如果我们仍然使用整数系数，无定向的设定下根本无法定义出满足$\partial^2=0$的边界算子：因为没有定向带来的正负符号，当计算边界的边界时，那些被重复覆盖的$(n-2)$-单形无法通过符号抵消，反映在关联矩阵上就是$B_nB_{n+1}$会有非零元素。只有当我们把系数换成模2的整数时，所有的加法都取模2，重复出现的次数（必然是偶数次）就会被归为0，这时候关联矩阵的乘积才会在模2意义下等于零矩阵，对应无定向情形下的“边界的边界为0”。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dhliu