反向求解贝塞尔曲线：实现点沿指定轨迹向圆心移动的技术问题

通常我们创建贝塞尔曲线的时候，都是先确定起点、控制点和终点，再生成对应的轨迹。但我现在碰到了一个反过来的问题，想请教大家怎么解决。

问题描述 #

• 给定一个半径为r的圆，圆内存在两个点：
  • 点P1固定在圆心(0,0)（本次场景的情况，后续也可能有变动）
  • 点P2是动态点，可位于圆内任意位置
• 我的目标是让P2沿着指定形状的贝塞尔曲线轨迹，向P1（圆心）移动

已知信息 #

首先明确二次贝塞尔曲线的推导公式：

L0(t) = (1-t)*P0 + t*P1
L1(t) = (1-t)*P1 + t*P2
Q0(t) = (1-t)*L0(t) + t*L1(t)

公式中的参数定义：

• P0：贝塞尔曲线的起点
• P1：贝塞尔曲线的控制点
• P2：贝塞尔曲线的终点
• Q0(t)：曲线上对应参数t（取值范围0到1）的当前位置

另外我有一个小比例的目标贝塞尔曲线模板（也就是我们要匹配的轨迹形状）：

• 模板起点P0=(0,0)
• 模板控制点P1=(0.75,0.25)
• 模板终点P2=(1,1)

现在实际场景的参数已经给出：

• 圆的半径r=1000
• 实际起点P0=(0,0)（也就是圆心）
• 当前动态点的位置Q0=(350,560)

我的困惑 #

我现在有点摸不清头绪，不知道该怎么着手处理这个问题：比如怎么把小比例的模板曲线缩放适配到实际的圆内场景？又该如何根据当前的Q0位置反推出对应的参数t，进而确定P2移动到P1的完整轨迹？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dennis Solomon