基于LAPACK的对称正定矩阵求逆与平方根计算疑问

嘿，这个问题其实挺有意思的——先给你一个核心结论：你完全不需要额外跑dpotrf，甚至也没必要依赖dpotri的结果，因为你为了用dpotri，肯定已经完成了dpotrf的Cholesky分解，而那个分解结果就是构造A平方根的关键。

先理清楚LAPACK这两个子程序的依赖关系：dpotri必须以dpotrf输出的Cholesky因子（下三角L或上三角U）作为输入，它的作用是基于这个分解快速计算A逆矩阵的三角部分（因为A是对称正定的，逆矩阵也是对称的，所以只需要存三角部分）。所以你既然已经用了dpotri，说明你手里已经有了A的Cholesky分解结果——这才是求A平方根的最优起点。

用已有的Cholesky分解构造A的对称正定平方根 #

假设你用的是下三角Cholesky分解（UPLO='L'，即A = L L^T）：

• 把L拆成两部分：单位下三角矩阵L_unit（对角元全为1，非对角元和L一致），加上对角矩阵D（对角元就是L的对角元素），也就是L = L_unit * D；
• 计算D_sqrt，即D的平方根矩阵（每个对角元单独开平方）；
• 构造矩阵M = L_unit * D_sqrt；
• 最后计算S = M * M^T——这就是A的对称正定平方根，它满足S * S = A。

如果用的是上三角分解（UPLO='U'，A = U^T U），逻辑完全一致：

• 把U拆成对角矩阵D和单位上三角U_unit，即U = D * U_unit；
• 计算D_sqrt；
• 构造M = D_sqrt * U_unit；
• 计算S = M^T * M。

关于用dpotri结果求平方根的可行性 #

理论上是可行的，但完全没必要。dpotri输出的是A逆的三角部分，你要从这里得到A的平方根，得先构造A逆的平方根，再求它的逆——这多了好几步计算，效率远不如直接用你已经有的Cholesky分解结果。

举个简单的例子：假设dpotri输出的是A逆的下三角部分L_inv（满足A^{-1} = L_inv L_inv^T），那你得先对L_inv做类似的拆分和平方根构造得到A逆的平方根S_inv，再求S_inv的逆才能得到A的平方根。这不仅绕路，还会引入额外的矩阵求逆开销，完全是舍近求远。

最终建议 #

直接用你为了跑dpotri而得到的dpotrf分解结果来构造A的平方根，这是最直接、最高效的方式，不需要额外跑dpotrf，也不用碰dpotri的输出。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user402940