含单位元环上正则模的不可分解投射模直和分解相关问题

嘿，咱们来一步步拆解这个问题哈！

首先先明确已知的结论：

若$R$是含单位元的左Artin环，那么正则模$_R R$确实可以分解为不可分解投射模的直和。原因很直观：左Artin环上的正则模是有限长度模，而任何有限长度模都能拆成不可分解模的直和；再结合左Artin环的性质，这些不可分解模自然都是投射的。

接下来回答你问的两个问题：

非Artin环的反例存在吗？ #

当然有！举个经典的例子：无限个域的直积环$R = \prod_{i=1}^\infty k_i$，其中每个$k_i$都是域。

• 首先，这个环不是左Artin的：因为存在无限递降的左理想链$\prod_{i=1}^\infty k_i \supset \prod_{i=2}^\infty k_i \supset \prod_{i=3}^\infty k_i \supset \dots$，不满足左Artin环的“任意左理想递降链有限终止”的条件。
• 然后看正则模$_R R$：假设它能分解为不可分解投射模的直和，那么每个直和项都应该是由某个非平凡幂等元生成的主左理想$Re_i$，且这些$e_i$是正交幂等元，它们的和等于$R$的单位元$(1,1,1,\dots)$。但$R$中的非平凡幂等元都是有限支撑的（只有有限个分量为1，其余为0），无论你取多少个这样的幂等元，它们的和最多只能有有限个分量为1，永远无法得到无限支撑的单位元。所以$_R R$根本没法分解成不可分解投射模的直和，完美符合反例的要求。

Noetherian环的情况呢？ #

对于左Noetherian环，情况就不一样了：正则模$_R R$是有限生成的（由单位元1生成），而左Noetherian环上的有限生成投射模满足Krull-Schmidt分解定理——也就是说，它一定能分解为有限个不可分解投射模的直和。

不过这里要注意：左Noetherian环不一定是Artin环（比如整数环$\mathbb{Z}$，它是左Noetherian但不是左Artin的），但它的正则模依然能分解（$\mathbb{Z}$本身就是不可分解的投射模，所以分解就是它自己）。

那有没有左Noetherian环的正则模不能分解的情况？答案是没有——因为有限生成投射模在Noetherian环上的Krull-Schmidt分解是存在且唯一（在同构意义下）的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Liang Chen