含参数$b \in (0,1)$的三角函数定积分$\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin^2(x)}{1+b\cos(x)}$求解问询

我尝试用复变函数里的留数法来计算这个带参数的三角函数定积分，过程如下：

首先是要解决的积分问题：

$$\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin^2(x)}{1+b\cos(x)}, \qquad b \in (0,1)$$

我先通过变量替换构造了对应的复变函数$\tilde{f}(z)$，同时找出了这个函数的所有奇点集合$A$：
$$\tilde{f}(z)=z^{{-1}\frac{\left(\frac{z-z}{-1}}{2i}\right)^{2}{1+b\frac{z+z}{-1}}{2}}=-\frac{z^{{-1}}{2}\frac{z}2-2+z^{{-2}}{2+bz+bz}{-1}}; \quad A=\left{0,-\frac{1}{b} \pm \frac{\sqrt{1-b^2}}{b}\right}$$

接下来我分析了单位圆盘$D(0,1)$内的奇点，得到两者的交集：
$$A \cap D(0,1)= \left{0,-\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}\right}$$

然后根据留数定理，把原积分转化为单位圆盘内奇点的留数计算，得到如下中间步骤：
\begin{align}
\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin^2(x)}{1+b\cos(x)}
&=2\pi \left(\operatorname{res}(0,\tilde{f})+\operatorname{res}\left(-\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{1-b^2}}{b},\tilde{f}\right)\right) \
&=2\pi\left(\frac{1}{b^{2}-\frac{1}{2}\frac{\left(\left(-\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{1-b}2}}{b}\right)^{2-2+\left(-\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{1-b}2}}{b}\right)^{{-2}\right)}{2b\left(-\frac{1}{b}+\frac{\sqrt{1-b}2}}{b}\right)+\dots}\right)
\end{align}

目前我得到了这个中间结果，想确认这个计算过程是否正确，或者有没有更简便的方式化简得到最终的简洁结果？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P