关于利用链式法则对泛函S[φ(x)]关于傅里叶变换φ̃(p)求泛函导数的可行性问询

嘿，你的这个推导完全是可行的，思路特别清晰，咱来一步步捋明白为啥没问题：

首先，泛函导数的链式法则在这种线性变换场景下是完全适用的。泛函导数的核心逻辑就是「变分的传递」——当你给$\widetilde{\phi}(p)$一个微小变分$\delta\widetilde{\phi}(p)$时，$\phi(x)$会跟着产生对应的变分$\delta\phi(x)$，泛函$S$的变分$\delta S$就能通过这两层变分的关系传递过去。

从你给出的$\phi(x)$和$\widetilde{\phi}(p)$的定义关系：
$$\phi(x)=\int\frac{d^{d}p}{(2\pi){d/2}}e^{ip\cdot x}\widetilde{\phi}(p)$$
我们能直接推出$\delta\phi(x)$和$\delta\widetilde{\phi}(p)$的关联：给$\widetilde{\phi}(p)$加一个小扰动后，$\phi(x)$的变化就是$\int\frac{d^{d}p}{(2\pi){d/2}}e^{ip\cdot x}\delta\widetilde{\phi}(p)$，这也就意味着泛函导数$\frac{\delta\phi(x)}{\delta\widetilde{\phi}(p)}$就是$\frac{e^{ip\cdot x}}{(2\pi)^{d/2}}$。

接下来把这个结果代入泛函导数的链式法则公式：
$$\frac{\delta S}{\delta\widetilde{\phi}(p)} = \int d^d x \frac{\delta\phi(x)}{\delta\widetilde{\phi}(p)} \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}$$
就正好得到你推导出来的表达式：
$$\int \frac{d^{d}x}{(2\pi){d/2}}e^{ip\cdot x}\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}[\phi]$$

你还可以换个角度验证：把$\phi(x)$的傅里叶展开直接代入$S$，让$S$变成关于$\widetilde{\phi}(p)$的泛函，再直接对$\widetilde{\phi}(p)$求泛函导数，最后得到的结果和你用链式法则算出来的完全一致——这也侧面坐实了你的推导是正确的。

总的来说，你的这个做法完全没问题，放心用就好！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Filippo