等价范数的同构空间之间的算子范数

咱们先来看两个Banach空间$X,Y$，它们是同构的，而且范数等价——也就是说存在正数$C_1,C_2$，满足：
$$C_1| x |_Y \leq |x|_X \leq C_2| x |_Y.$$

现在假设有一个有界线性算子$T:X \rightarrow X$，其实咱们也可以把这个算子看作是定义在$Y$上的$T:Y\rightarrow Y$（毕竟两个空间作为集合是同构对应的，算子作用的元素本质是一样的）。

问题： #

算子$T$作为$X\to X$映射的算子范数$|T|{X \to X}$，和作为$Y\to Y$映射的算子范数$|T|{Y \to Y}$之间有什么关系呢？

我的推导尝试： #

先做个简单的推导：
首先，对于任意$x$（不管看作$X$还是$Y$中的元素），我们有：
$$|Tx|{Y} \leq C_1^{-1} |Tx|{X} \leq C_1^{-1} |T|{X \to X} |x|{X} \leq C_1^{-1} C_2 , |T|{X \to X} ,|x|{Y},$$
根据算子范数的定义——$|T|{Y\to Y} = \sup{|x|Y=1} |Tx|Y$，从上面的不等式就能直接得到：
$$|T|{Y \to Y} \leq \frac{C_2}{C_1} |T|{X \to X}.$$

反过来再推另一个方向：
$$|Tx|{X} \leq C_2 |Tx|{Y} \leq C_2 |T|{Y \to Y} |x|{Y} \leq C_2 \cdot \frac{1}{C_1} |T|{Y \to Y} ,|x|{X},$$
同样根据算子范数的定义，就能得到：
$$|T|{X \to X} \leq \frac{C_2}{C_1} |T|{Y \to Y},$$
把这个式子变形一下，就是：
$$|T|{Y \to Y} \geq \frac{C_1}{C_2} |T|{X \to X}.$$

把两个方向的不等式合在一起，就得到了最终的关系：
$$\frac{C_1}{C_2}|T|{X \to X} \leq |T|{Y \to Y} \leq \frac{C_2}{C_1}|T|_{X \to X}.$$

换句话说，这两个算子范数是等价的，它们之间的比值被范数等价的常数$C_1,C_2$控制住了，不会出现一个无穷大另一个有限的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Scottish Questions