寻求满足「所有素理想局部化均为整环但自身非整环」的交换含幺环的反例

嘿，先提前说明：咱们默认讨论的是交换含幺环哈！

我现在要找一个反例，来推翻这个命题：如果环$A$对所有素理想$\mathfrak{p}$的局部化$A_{\mathfrak{p}}$都是整环，那么$A$本身一定是整环。

我找到一个经典的反例——域$k$上的直积环$k^2$，比如取$k=\mathbb{Q}$（有理数域）就很直观。

首先先确认$k^{2$不是整环：在$k}2$里，取元素$(1,0)$和$(0,1)$，它们都是非零元，但乘积$(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)$，这就说明$k^2$存在零因子，不符合整环的定义，所以它肯定不是整环。

接下来验证它的所有素理想局部化都是整环：

• 先找出$k^2$的所有素理想：其实只有两个，分别是$\mathfrak{p}_1={(a,0)\mid a\in k}$和$\mathfrak{p}_2={(0,b)\mid b\in k}$。
• 看局部化$A_{\mathfrak{p}_1}$：这个局部化的过程，就是把$k^2$中不在$\mathfrak{p}_1$里的元素（也就是第二个分量不为0的元素）都变成可逆元，最终这个局部化环和域$k$是同构的，域当然是整环啦。
• 同理，局部化$A_{\mathfrak{p}_2}$之后也和域$k$同构，自然也是整环。

这样一来，$k^2$就满足了“所有素理想局部化都是整环，但自身不是整环”的条件，正好是我们要找的反例～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tiny