左Artin环正则模分解下的单模商同构性问题

咱们来梳理这个代数结论：假设$R$是含单位元的左Artin环，正则模$_R R$有任意分解$_R R \simeq P_1 \oplus \cdots \oplus P_n$，那我们可以推出$R$上的任意单模都一定同构于某个$P_i$的商模。

具体推导思路是这样的：

• 因为$R$是左Artin环，所以$R/\text{rad}(R)$是半单模；而$R$上的任意单模$S$，都能通过一个可裂满同态$R/\text{rad}(R) \twoheadrightarrow S$，成为$R/\text{rad}(R)$的直和项。
• 接着看这个关键的同构链：
  $$R/\text{rad}(R) \simeq (P_1 \oplus \cdots \oplus P_n)/\text{rad}(P_1 \oplus \cdots \oplus P_n) \simeq P_1/\text{rad}(P_1) \oplus \cdots \oplus P_n/\text{rad}(P_n)$$
  这里用到了直和模的根等于各直和项根的直和这个重要性质。
• 由于$R/\text{rad}(R)$是半单模，它的每个直和项$P_i/\text{rad}(P_i)$也都是半单模（要么是单模，要么是单模的直和）。而单模$S$是$R/\text{rad}(R)$的直和项，那它必然和某个$P_i/\text{rad}(P_i)$中的一个单直和项同构。
• 最后，对每个$P_i$来说，存在自然的满同态$P_i \twoheadrightarrow P_i/\text{rad}(P_i)$，也就是说$P_i/\text{rad}(P_i)$是$P_i$的商模，那么和它的单直和项同构的$S$，自然也就成为了某个$P_i$的商模。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Liang Chen