关于维基百科黎曼曲率张量条目两处表述矛盾的技术问询
2026-4-17
关于维基百科黎曼曲率张量条目两处表述矛盾的技术问询
我在看维基百科上的黎曼曲率张量条目时，发现图里两个红框的内容看起来有点矛盾，想请教一下大家是不是我哪里理解错了——毕竟黎曼几何里的符号体系一直容易让人搞混，我自己也拿不准。
先把推导过程列出来：
根据这两个红框的内容，我们可以得到：
$$
\nabla_a\nabla_b T_i- \nabla_b\nabla_a T_i
根据这两个红框的内容，我们可以得到：
$$
\nabla_a\nabla_b T_i- \nabla_b\nabla_a T_i
-R_{~~iab}^j T_j =-g^{jl}R_{iabl} T_j
$$
同时又有：
$$
\nabla_b\nabla_a T_i - \nabla_a\nabla_b T_i
$$
同时又有：
$$
\nabla_b\nabla_a T_i - \nabla_a\nabla_b T_i
-R_{~~iba}^j T_j =-g^{jl}R_{ibal} T_j
$$
把这两个式子放一起看的话，左边互为相反数，那右边也应该互为相反数，但实际计算下来：
$$
-g^{jl}R_{iabl} T_j \ne g^{jl}R_{ibal} T_j
$$
这就让我觉得这两处红框的表述好像矛盾了。
不过我自己琢磨了一下，如果第二个红框里的式子改成：
$$
R_{ijkl}=g_{ip}R^p_{~~jkl}
$$
那前后的逻辑就通顺了，不会有矛盾。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enhao Lan
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