函数$f(z)=\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z-z^2}$在z=0处的留数计算及结果验证问题

我最近在计算函数$f(z)=\frac{e^{{\frac{1}{z}}}{z-z}2}$在$z=0$处的留数，整理了自己的计算思路，想和大家交流一下：

首先我把函数做了拆分变形：
$$\frac{e^{{\frac{1}{z}}}{z-z}2} = \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z}\cdot\frac{1}{1-z}$$

接着分别展开两个部分的级数：

• $e^{{\frac{1}{z}}$的洛朗级数为$1+\frac{1}{z}+\frac{(\frac{1}{z})}2}{2!}+ \dots$，因此$\frac{e^{{\frac{1}{z}}}{z}$的洛朗级数就是$\frac{1}{z}+\frac{1}{z}2}+\frac{1}{2!\cdot z^3}+ \dots$
• $\frac{1}{1-z}$的幂级数展开是$1+z+z^2 + \dots$（这个展开在$|z|<1$的区域成立，刚好覆盖$z=0$的去心邻域）

接下来把这两个级数相乘，留数对应的是展开式中$\frac{1}{z}$项的系数。仔细计算这个系数的话，是两个级数对应项相乘后能凑出$\frac{1}{z}$的所有项的系数之和：

• $\frac{1}{z}$乘以1，得到$\frac{1}{z}$，对应系数为$\frac{1}{0!}$
• $\frac{1}{z^2}$乘以$z$，得到$\frac{1}{z}$，对应系数为$\frac{1}{1!}$
• $\frac{1}{2!\cdot z^3}$乘以$z2$，得到$\frac{1}{z}$，对应系数为$\frac{1}{2!}$
• 以此类推，所有这些系数相加的结果就是$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+ \dots$，这个无穷级数的和就是自然常数$e$，所以我得出结论：$\operatorname{Res}(0,f)=e$。

之后我尝试用工具验证这个结果，但没能得到有效的输出反馈。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P