几何图形中圆半径的求解咨询及推导验证

嗨，我最近碰到这么一道几何题，自己试着推了几步，但总感觉没完全理顺，想请大家帮忙看看我的推导思路有没有问题，或者有没有更顺畅的解法：

题目：如图所示，已知 $AB = 12m$，$AC = 4m$，$HE = 8m$，计算圆的半径（已知答案为 $R=8$）

我自己尝试的推导过程如下：

• 在 $\triangle ABD$ 中：$BE^2 = AE \cdot ED = (R+OE) \cdot (R-OE) = R^2-OE2$
• 在 $\triangle ABD$ 中：$BE \cdot 2R = 12 \cdot BD$
• 在 $\triangle ABD$ 中：$BD^2 = 144-(2R)^2$
• 在 $\triangle AHC$ 中：$AH^2 = 16-CH$
• 在 $\triangle ABE$ 中：$BE^2 = 144-(R+OE)^2 = 144-(8+AH)^2$
• 在 $\triangle ACD$ 中：$2R \cdot CH = 4 \cdot CD$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者peta arantes