刚性张量范畴中对偶函子的态射同构性证明问题

嘿，我最近在研究Deligne和Milne定义的刚性张量范畴$(\mathcal{C},\otimes)$，遇到了一个问题想跟大家探讨：

在相关资料的第10页提到，映射
$$\text{Hom}(X,Y) \to \text{Hom}(Y^{\vee},X{\vee}) \tag{1}$$
是一个同构。

如果我们预先假设对偶函子$(-)^{\vee}:\mathcal{C} \to \mathcal{C}$是范畴等价的话，这个结论看起来很直观。但如果不提前假设这个函子是范畴等价，该怎么证明这个同构呢？有没有一串自然同构可以直接推导得出这个结论？

补充说明：对偶函子$(-)^{\vee}$会把$\mathcal{C}$中的态射$f:X \to Y$映射到对应的对偶态射$f^{\vee}:Y{\vee}\to X^{{\vee}$，而上面的映射(1)就是将每个$f$对应到$f}{\vee}$的映射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123